设u=f（x，y，z），φ（x2，ey，z）=0，y=sinx，其中f，φ都具有一阶连续偏导数，且∂φ∂z≠0．求du/dx．

题目

设u=f（x，y，z），φ（x²，e^y，z）=0，y=sinx，其中f，φ都具有一阶连续偏导数，且

∂φ

∂z

≠0

答案

∵u=f（x，y，z），y是x的函数，z也是x的函数
∴

du

dx

＝

∂f

∂x

+

∂f

∂y

+

∂f

∂z

•

dz

dx

∵y=sinx
∴

dy

dx

＝cosx
再在方程φ（x²，e^y，z）=0两端对x求导，可得
φ′1•2x+φ′2•eycosx+φ′3•

dz

dx

＝0
解得

dz

dx

＝−

1

φ′3

(2x•φ′1+eycosx•φ′2)
将

dy

dx

，

dz

dx

代入到

du

dx

得

du

dx

＝fx+fy•cosx+

fz

φ′3

(2x•φ′1+eycosx•φ′2)