在由正整数组成的数列中{an}中,已知anan+1=2^2n-1(n∈N*),求证：数列｛an｝为等比数列的充要条件是a1=1

题目

在由正整数组成的数列中{an}中,已知anan+1=2^2n-1(n∈N*),求证：数列｛an｝为等比数列的充要条件是a1=1

答案

证明：①充分条件：a1=1,{an}是等比数列
由anan+1=2^2n-1,得 n≥2时,anan-1=2^2n-3 两式相除,得 an+1/an-1=2²
则 anan+1=a1a2*2^(2n-2)=2^(2n-1)(n≥3) a1=1,得 a2=2 a3=4 a4=8
{an+1/an-1}是以4为首项的常数列
②必要条件：{an}是等比数列,a1=1
{an}是等比数列,公比为q,则 {anan+1}是以q²为公比的等比数列
anan+1/anan-1=2^(2n-1)/2^(2n-3)=q²=4 ,an＞0,q＞0,得 q=2 a1a2=2=a1²q
∴ a1=1