设u=f（x，y，z）有连续偏导数，y=y（x）和z=z（x）分布由方程exy-y=0和ez-xz=0所确定，求du/dx．

题目

设u=f（x，y，z）有连续偏导数，y=y（x）和z=z（x）分布由方程e^xy-y=0和e^z-xz=0所确定，求

du

dx

答案

∵u=f（x，y，z）有连续偏导数，y=y（x）和z=z（x）
∴

du

dx

＝

∂f

∂x

+

∂f

∂y

dy

dx

+

∂f

∂z

dz

dx

…①
又由e^xy-y=0，两边对x求导得：exy(y+x

dy

dx

)−

dy

dx

＝0
∴

dy

dx

＝

yexy

1−xexy

=

y2

1−xy

由e^z-xz=0，两边对x求导得：ez

dz

dx

−z−x

dz

dx

＝0
∴

dz

dx

＝

z

ez−x

＝

z

x(z−1)

∴代入①得：

du

dx

＝

∂f

∂x

+

y2

1−xy

∂f

∂y

+

z

x(z−)

∂f

∂z