在数列{an}中,a1=2,an=2an−1+2n+1(n≥2,n∈N*) (1)令bn=an2n,求证{bn}是等差数列; (2)在(1)的条件下,设Tn=1/b1b2+1/b2b3+…+1/bnb
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在数列{an}中,a1=2,an=2an−1+2n+1(n≥2,n∈N*) (1)令bn=an2n,求证{bn}是等差数列; (2)在(1)的条件下,设Tn=1/b1b2+1/b2b3+…+1/bnb
题目
在数列{a
n
}中,a
1
=2,
a
答案
(1)证明:由
a
n
=2
a
n−1
+
2
n+1
得
a
n
2
n
=
a
n−1
2
n−1
+2
…(4分)
∴
a
n
2
n
−
a
n−1
2
n−1
=2
(n≥2)…(5分)
又
b
n
=
a
n
2
n
,∴b
1
=1,
∴数列{b
n
}是首项为1,公差为2的等差数列.…(6分)
(2)由(1)知b
n
=2n-1,∴
1
b
n
b
n+1
=
1
(2n−1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)
…(9分)
∴
T
n
=
1
2
(1−
1
3
+
1
3
−
1
5
+…+
1
2n−1
−
1
2n+1
)
=
1
2
(1−
1
2n+1
)
=
n
2n+1
…(12分)
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