设直线是y=3x+b是曲线y=ex的一条切线，则实数b的值是_．

题目

设直线是y=3x+b是曲线y=e^x的一条切线，则实数b的值是______．

答案

∵y=e^x，
∴y′=e^x，
设切点为P（x₀，e^x₀），
则过P的切线方程为y-e^x₀=e^x₀（x-x₀），
整理，得y=ex0x-ex0•x₀+ex0，
∵直线是y=3x+b是曲线y=e^x的一条切线，
∴ex0=3，x₀=ln3，
∴b=-ex0•x₀+ex0=3-3ln3．
故答案为：3-3ln3．