设圆上点A（2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上,且圆截直线x-y+1=0的所得弦长为2√2,求圆方程

题目

设圆上点A（2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上,且圆截直线x-y+1=0的所得弦长为2√2,求圆方程

答案

点A（2,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上,因此圆心在直线x+2y=0上,设为O（-2a,a)
OA即为半径：OA^2=(-2a-2)^2+(a-3)^2=4a^2+4+8a+a^2-6a+9=5a^2+2a+13
圆的方程为：(x+2a)^2+(y-a)^2=5a^2+2a+13
直线x-y+1=0 即y=x+1代入圆：
(x+2a)^2+(x+1-a)^2=5a^2+2a+13
化简得：x^2+x(a+1)-2a-6=0
弦长^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=2(x1-x2)^2=2[(x1+x2)^2-4x1x2]=2[(a+1)^2+4(2a+6)]=2[a^2+10a+25]=8
a^2+10a+21=0
(a+3)(a+7)=0
a=-3 or -7
因此有两个解,分别为：
a=-3,(x-6)^2+(y+3)^2=52
a=-7,(x-14)^2+(y+7)^2=244