二次函数fx满足fx+1-fx=2x,且f0=1 1.求fx的解析式 2.若gx=mx+2,Fx=fx-gx.求Fx在[-1,2]上

题目

二次函数fx满足fx+1-fx=2x,且f0=1 1.求fx的解析式 2.若gx=mx+2,Fx=fx-gx.求Fx在[-1,2]上
二次函数fx满足fx+1-fx=2x,且f0=1
1.求fx的解析式
2.若gx=mx+2,Fx=fx-gx.求Fx在[-1,2]上最小值hm
3.求hm在m∈[-1,2]最小值

答案

设f(x)=ax²+bx+c,因为f(0)=0+0+c=1,所以f(x)=ax²+bx+1,所以f(x+1)-f(x）
=a(x+1)²+b(x+1)+1-（ax²+bx+c）
=2ax+a+b=2x,整理得(2a-2)x+a+b=0,又该等式恒成立,所以2a-2=0,a=1,a+b=0,b=-1所以  f(x)=x²-x+1        

由（1）可得f(x)=x²-x+1,由题可得Fx=x²-x+1-mx-2=x²-（1+m）x-1,函数Fx过定点（0,-1）,当1+m/2<=-1时,取最小值F（-1）.当-1<1+m/2<2时,取最小值F（1+m/2）.当2<=1+m/2时,取最小值F（2）.




 结合（2）m∈[-1,2]时,hm=F（1+m/2）,令t=1+m/2,m+1=2t-1,所以t∈[1/2,2】,hm=F（t）=t²-（2t-1）t-1=-t²=t-1后面与第二步同理