一道高等数学题：用铁板做一个体积为2立方米的长方体有盖水箱,问长宽高各取多少时,才能用料最少?

题目

一道高等数学题：用铁板做一个体积为2立方米的长方体有盖水箱,问长宽高各取多少时,才能用料最少?
是微积分类的题

答案

这是多元函数的条件极值问题
可用拉格朗日乘数法
设长为x米,宽为y米,高为z米,则用料
f(x,y,z)=2(xy+yz+xz)
限制条件为
g(x,y,z)=xyz-2=0
令F(x,y,z)=2(xy+yz+xz)+λ(xyz-2)
则
Fx'=2(y+z)+λyz=0
Fy'=2(x+z)+λxz=0
Fz'=2(x+y)+λxy=0
xyz=2
=>x=y=z=2^(1/3)
解得唯一驻点(2^(1/3),2^(1/3),2^(1/3))
故用料最少在长宽高均为2^(1/3)米时取得
f(min)=6*2^(2/3)=9.52 平方米