在平面直角坐标系中,抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两个不同动点A,B满足AO⊥BO.

题目

在平面直角坐标系中,抛物线y=x^2上异于坐标原点O的两个不同动点A,B满足AO⊥BO.
（1）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程.
（2）△AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.

答案

（1）设直线AB为y=kx+b.联立y=x^2和y=kx+b,得XaXb=-b,YaYb=b^2,又因为XaXb+YaYb=0.故b=1或0,b=0应该舍去,故直线AB恒经过定点（0,1）.可设直线为y=kx+1,联立y=x^2与y=kx+1,得Xa+Xb=k,Ya+Yb=2,G为（k/3,1/3）,注意重心坐标是三点坐标和的三分之一,则G恒在y=1/3该直线上.
(2)S△AOB=AO*BO/2=二分之根号下[(Xa^2+Ya^2）（Xb^2+Yb^2)].(Xa^2+Ya^2）（Xb^2+Yb^2)=2+Xa^2+Xb^2,Xa^2+Xb^2=k^2+4,S△AOB=二分之根号下（4+k^2),当k=0时,S△AOB有1这个最小值.