求经过点M（3,-1）,且与圆：x²+y²-2x-6y+5=0相切于点N（1,2）的圆的方程

题目

求经过点M（3,-1）,且与圆：x²+y²-2x-6y+5=0相切于点N（1,2）的圆的方程

答案

求经过点M（3,-1）,且与圆：x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0 相切于点N（1,2）的圆的方程
设所求圆的方程为,
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
圆：x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0 ,
(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5
圆心为 点(1,3).
因 圆 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 与 (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5相切于点(1,2).
所以,所求圆的圆心(a,b)和点(1,2)以及（1,3）共线.
因此,
a = 1.
再由
点M（3,-1）和点N（1,2）都在所求圆上,
有,
(3-1)^2 + (-1-b)^2 = r^2,
(1-1)^2 + (2-b)^2 = r^2,
4 + 1 + 2b + b^2 = b^2 - 4b + 4,
b = -1/6.
r^2 = (2-b)^2 = (2+1/6)^2 = 169/36,
所以,
所求圆的方程为,
(x - 1)^2 + (y + 1/6)^2 = (13/6)^2 = 169/36