两个关于有相同特征向量的证明

题目

两个关于有相同特征向量的证明
r(A)+r(B)

答案

1,r(A)+r(B) n
所以存在x,Ax = Bx = 0
2,AB = BA
设x是A的特征向量,Ax = ax
则 ABx = BAx = B(ax) = a(Bx)
所以 Bx 也是A的(对应于同一特征值a的)特征向量
如果 a 对应的特征子空间是一维的,这说明 Bx = bx,
即 x 也是 B 的特征向量.
如果 a 对应的特征子空间超过一维,则
因为 Bx 仍然是 A 的特征向量,Bx 属于这子空间
所以这个特征子空间是B的一个不变子空间,从而也是
B 的一个特征空间.