已知x+y+z=1,求证x2+y2+z2≥1/3.
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已知x+y+z=1,求证x2+y2+z2≥1/3.
题目
已知x+y+z=1,求证
x
答案
∵x
2
+y
2
≥2xy,x
2
+z
2
≥2xz,y
2
+z
2
≥2yz,
∴2x
2
+2y
2
+2z
2
≥2xy+2xz+2yz.
∴3x
2
+3y
2
+3z
2
≥x
2
+y
2
+z
2
+2xy+2xz+2yz
∴
3(
x
2
+
y
2
+
z
2
)≥(x+y+z
)
2
=1∴
x
2
+
y
2
+
z
2
≥
1
3
.
原不等式得证.
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