在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,向量m=(2sinB,2cosB),n=(3cosB,-cosB),且m•n=1. (1)求角B; (2)若a,b,c成等差数列,且b=2,求△A
题目
在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,向量
=(2sinB,2cosB),
=(cosB,-cosB),且
•=1.
(1)求角B;
(2)若a,b,c成等差数列,且b=2,求△ABC的面积.
答案
(1)∵向量
=(2sinB,2cosB),
=(cosB,-cosB),且
•=1,
∴
2sinB•cosB-2cos2B=1,
化简得
sin2B-cos2B=2,可得
sin(2B-)=1,…(5分)
又0<B<π,得
-<2B-<,
∴
2B-=,解之得
B=…(7分)
(2)∵a,b,c成等差数列,b=2,∴a+c=2b=4.
又∵b
2=a
2+c
2-2ac•cosB,
∴
4=a2+c2-2ac•cos,即4=a
2+c
2-ac…(10分)
将a+c=4代入,得a
2-4a+4=0,得a=2,
从而c=2,三角形为等边三角形.…(12分)
因此,△ABC的面积
S =acsinB=.…(14分)
(1)根据向量数量积的运算公式,结合三角恒等变换公式化简整理,得
sin(2B−)=1,再由0<B<π,解此方程可得角B的大小;
(2)根据余弦定理,建立关于a、c的方程并化简得4=a
2+c
2-ac,而a、b、c成等差数列得a+c=2b=4,代入前面的式子解出a=c=2,从而得到△ABC是等边三角形,由此不难得到△ABC的面积.
平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;余弦定理.
本题给出向量含有三角函数式的坐标,在已知数量积的情况下求△ABC中角B的大小,并依此求△ABC的面积.着重考查了三角恒等变换公式、向量的数量积坐标公式和正余弦定理解三角形等知识,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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