求证acos(c/2)^2+ccos(a/2)^2=1/2(a+b+c)

题目

求证acos(c/2)^2+ccos(a/2)^2=1/2(a+b+c)
cos(C/2)^2=1/2(cosC+1)
这一步是为什么!?
希望不要复制别人的,自己回答谢谢!

答案

根据半角公式有cos(A/2)=√((1+cosA)/2)
所以cos(C/2)^2=1/2(cosC+1)
cos(A/2)^2=1/2(cosA+1)
代入等式左边
=1/2(a*cosC+c*cosA)+1/2(a+c) …… (#)
根据正弦定理
a=2RsinA
c=2RsinC
代入#式
=1/2*2R(sinA*cosC+sinC*cosA)+1/2(a+c) …… (1)
整理
=1/2*2Rsin(A+C)+1/2(a+c)
=1/2*2Rsin(π-B)+1/2(a+c)
=1/2*2RsinB+1/2(a+c)
再用一次正弦定理
2RsinB=b
得到
=1/2(a+b+c)
=右边
得证