设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0． （1）若b=-12，求f（x）的单调递增区间； （2）如果函f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．

题目

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）的单调递增区间；
（2）如果函f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．

答案

（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），b=-12时，由 f′(x)＝2x−12x+1＝2x2+2x−12x+1＝0，得x=2（x=-3舍去），当x∈（-1，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，所以当x∈（2，+∞）时，f（x...

（1）首先考虑函数的定义域，然后求出导函数=0时的值，讨论导数大于小于0时函数的递增递减区间即可；
（2）由题意可知导函数等于0时在（-1，+∞）有两个不等实根，即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，设g（x）=2x²+2x+b=0，然后讨论根的判别式大于0即g（-1）大于0得到b的范围即可．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数极值的能力，理解函数恒成立条件的能力．