正多边形从同一个顶点发出的所有对角线是不是等分那个内角?

题目

正多边形从同一个顶点发出的所有对角线是不是等分那个内角?
在写一个绘图程序时发现正六、七、八边形从同一个顶点发出的所有对角线正好平分了那个内角,而且每个小角的度数是外角的一半.
不知道几何学里有没有这种定理,经过计算的过程感觉好像是个普适的规律.

答案

这个结论是正确的.
因为是正多边形,所以内接于圆.由于每边长相等,因此每边所对的弧相等,因此这些弧所对的圆周角相等.因此从同一顶点发出的对角线正好平分这个内角.
另外,如果正多边形的边数是 n ,则内角总和是 (n-2)×180° ,所以每个内角是 (n-2)×180°/n ,每个外角等于 180°-(n-2)×180°/n=360°/n ,
而内角被 n-3 条对角线平分的每个小角等于 [(n-2)×180°/n]/(n-2)=180°/n ,
因此恰为外角的一半 .