等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在AB和AC上,且AE=DE=BD=BC,求∠ECD的度数

题目

等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在AB和AC上,且AE=DE=BD=BC,求∠ECD的度数

答案

设∠A=a,△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=90°-a/2,
AE=DE=DB,设为1
∴∠ADE=∠A=a,AD=2cosa
BD=BC,
∴∠BCD=∠BDC=90°-（1/2）∠B=45°+a/4,
DC=2cos(45°+a/4),
∴∠ECD=∠ACB-∠BCD=45°-3a/4,
∠CDE=180°-∠ADE-∠BDC=135°-5a/4,
在△CDE中,由正弦定理,
CE=DCsinCDE/sinCED=2cos(45°+a/4)sin(135°-5a/4)/sin2a=2cosa,
∴2cos(45°+a/4)sin(135°-5a/4)=2sin2acosa,
积化和差,得sin(180°-a)+sin(90°-3a/2)=sin3a+sina,
∴cos(3a/2)=2sin(3a/2)cos(3a/2),
∴cos(3a/2)=0或sin(3a/2)=1/2,
∴a=60°(舍),或a=20°,
∴∠ECD=30°.