设A为n阶实对称矩阵.1.证明A的平方+E也为实对称矩阵2.证明:A的平方+E为正定阵其中E为n阶单位阵
题目
设A为n阶实对称矩阵.1.证明A的平方+E也为实对称矩阵2.证明:A的平方+E为正定阵其中E为n阶单位阵
答案
由已知,A^T = A
1.(A^2+E)^T = A^2+E
2.对任一n维向量 x ≠ 0,x^Tx > 0,(Ax)T(Ax)>=0
所以 x^T(A^2+E)x = (x^TA)(Ax) + x^Tx = (Ax)^T(Ax) + x^Tx >0
所以 A^2+E 正定.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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