如图,已知在△ABC中,∠BAC为直角,AB=AC,D为AC上一点,CE⊥BD于E. (1)若BD平分∠ABC,求证CE=1/2BD; (2)若D为AC上一动点,∠AED如何变化?若变化,求它的变化范
题目
如图,已知在△ABC中,∠BAC为直角,AB=AC,D为AC上一点,CE⊥BD于E.
(1)若BD平分∠ABC,求证CE=
答案
(1)延长BA、CE相交于点F,先证△BEC≌△BEF(ASA),
∴CE=FE,
∴CE=
CF,
∵∠BAC是直角,
∴∠BAD=∠CAF=90°,
而∠F+∠FBE=∠FCA+∠F=90°,
∴∠ACF=∠FBE,
又∵AC=AB,
∴△BAD≌△CAF(ASA),
∴BD=CF,即CE=
BD.
(2)∠AEB不变为45°.
理由如下:
法一:过点A作AH⊥BE垂足为H,作AG⊥CE交CE延长线于G,
先证∠ACF=∠ABD,
得△BAH≌△CAG(AAS)
∴AH=AG,
而AH⊥EB,AG⊥EG,
∴EA平分∠BEF,
∴∠BEA=
∠BEG=45°.
法二:由(1)证得△BAD≌△CAF(ASA),△BAD的面积=△CAF的面积,
∴BD•AH=CF•AG,而BD=CF,
∴AH=AG,
而AH⊥EB,AG⊥EG,
∴EA平分∠BEF,
∴∠BEA=
∠BEG=45°.
举一反三
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