用均值不等式证明a^2/b+c+b^2/a+c+c^2/a+b>a+b+c/2
题目
用均值不等式证明a^2/b+c+b^2/a+c+c^2/a+b>a+b+c/2
答案
请注意括号的正确使用,以免造成误解. 同时,条件中应该强调a、b、c是不等的正数.
∵a^2/(b+c)+(b+c)/4>2√{[a^2/(b+c)][(b+c)/4]}=a,
b^2/(a+c)+(a+c)/4>2√{[b^2/(a+c)][(a+c)/4]}=b,
c^2/(b+c)+(b+c)/4>2√{[c^2/(b+c)][(b+c)/4]}=c.
∴a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(b+c)+(a+b+c)/2>a+b+c,
∴a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(b+c)>(a+b+c)/2.
注:a、b、c为不等正数是必要的,否则,均值不等式不成立.
且当a=b=c>0时,a^2/(b+c)+b^2/(a+c)+c^2/(b+c)=(a+b+c)/2.
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