在△ABC中,角C=90°CD,垂直AB于D,AC=b,BC=a,CD=h,求证(1)a的平方分之1+b的平方分之1=h的平方分之1

题目

在△ABC中,角C=90°CD,垂直AB于D,AC=b,BC=a,CD=h,求证(1)a的平方分之1+b的平方分之1=h的平方分之1
(2）a+b>c+h

答案

证明：【纠正a+b＜c+h】【AB=c】
(1)∵∠C=90º,CD⊥AB
根据勾股定理：a²+b²=c²
由计算面积可得：ab=ch,则c²=a²b²/h²
∴a²+b²=a²b²/h²
等式两边都除以a²b²得：1/b²+1/a²=1/h²
(2)a+b＜c+h
设BD=d,BC=a,AC=b,AB=c,CD=h
根据勾股定理：
a²=h²+d²,b²=h²+(c-d)²
则a²+b²=2h²+c²+2d²-2cd
∵ab=ch,则2ab=2ch
∴a²+b²+2ab=2h²+c²+2d²-2cd+2ch
(a+b)²=(c+h)²+h²+2d²-2cd
∵h²+d²=a²
由射影定理cd=a²
∴h²+2d²-2cd=a²+d²-2a²=d²-a²
∵d＜a,∴d²-a²＜0
∴h²+2d²-2cd＜0
∴(a+b)²＜(c+h)²
∴a+b＜c+h