三角形ABC中,中线AD（D在BC上）,证明AB平方+AC平方=2（BD平方+AD平方））

题目

三角形ABC中,中线AD（D在BC上）,证明AB平方+AC平方=2（BD平方+AD平方））
如题.

答案

初中几何问题,勾股定理
证明：
设AB＜AC（另外情况一样可证）
作AM⊥BC,M为垂足,因为AB＜AC,故M在线段DB上
设BM＝X,CD＝BD＝Y,则DM＝Y－X
在Rt△ABM、Rt△ADM、Rt△ACM中分别运用勾股定理得：
AB^2＝X^2＋AM^2
AC^2＝CM^2＋AM^2＝(2Y－X)^2＋AM^2
AD^2＝DM^2＋AM^2＝(Y－X)^2＋AM^2
所以AB^2＋AC^2＝2X^2＋4Y^2－4XY＋2*AM^2
2(AD^2＋BD^2)＝2X^2＋4Y^2－4XY＋2*AM^2
所以AB^2＋AC^2＝2(BD^2＋AD^2)