定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知函数y=f′(x)的图象如图所示,若两正数a、b满足f(2a+b)<1,则b+2/a+2的取值范围是_.

定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知函数y=f′(x)的图象如图所示,若两正数a、b满足f(2a+b)<1,则b+2/a+2的取值范围是_.

题目
定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知函数y=f′(x)的图象如图所示,若两正数a、b满足f(2a+b)<1,则
b+2
a+2
的取值范围是______.
答案
由图可知,当x>0时,导函数f′(x)>0,原函数单调递增
∵两正数a,b满足f(2a+b)<1,
∴0<2a+b<4,
∴b,a满足不等式
a>0
b>0
2a+b<4
,其对应的区域如图阴影部分(不包括边界)
b+2
a+2
表示过点P(-2,-2)与区域内一点M连线的斜率
由图知,当点M在A时,
b+2
a+2
取到最大值为3,当点M在点B时,取到最小值
1
2

由于区域不包括边界,故
b+2
a+2
的取值范围是(
1
2
,3)

故答案为:(
1
2
,3)
先根据导函数的图象判断原函数的单调性,从而确定a、b的范围得到答案.

函数的单调性与导数的关系;简单线性规划.

本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减,根据导函数的符号判定函数的单调性是解题的关键,属中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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