在三角形ABC中,角C=90,D为BC边上的一点,DE垂直AB,垂足为E,角ADC=45,若DE：AE=1:5,BE=3,求BD的长

题目

在三角形ABC中,角C=90,D为BC边上的一点,DE垂直AB,垂足为E,角ADC=45,若DE：AE=1:5,BE=3,求BD的长

答案

设AE=5a,DE=a
BE=3
在直角三角形BDE中,BD=√(9+a²),勾股定理求出
同理直角三角形ADE中,AD²=AE²+DE²,AD=√26a
因为角ADC=45,所以AC=CD,所以AC²+CD²=AD²,解出AC=√13a
因为∠B=∠B,∠ACB=∠BED=90
所以三角形BED相似三角形BCA
所以BD/AB=DE/AC
√(9+a²)/(5a+3)=a/√13a
(9+a²)/(25a²+30a+9)=1/13
25a²+30a+9=13×8+13a²
化简
2a²+5a-18=0
(2a+9)(a-2)=0
a=2或a=-9/2（舍去）
所以BD=√(9+4)=√13