如图所示,AC平分角BAD,CE垂直于AB.(2)角ADC+角ABC =180°时,求证2AE=AB+AD

题目

如图所示,AC平分角BAD,CE垂直于AB.(2)角ADC+角ABC =180°时,求证2AE=AB+AD

答案

证明：
过C作AD的垂线,交AD的延长线于F（即垂足为F）.
已知∠ADC+∠ABC＝180°
而∠ADC+∠CDF＝180°
所以∠ABC＝∠CDF
即∠EBC＝∠FDC
已知CE⊥AB
所以∠DFC＝∠BEC=90°
又因为AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AF
所以CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
所以三角形CDF全等于三角形CBE（AAS）
所以EB=FD（全等三角形的对应边相等）
在直角三角形ACF和直角三角形ACE中
AC=AC,CE=CF
所以直角三角形ACF全等于直角三角形ACE（HL）
所以AF=AE（全等三角形的对应边相等）
而AE=AB-EB,AF=AD+DF
所以AE+AF=AB-EB+AD+DF
而已证AF=AE,EB=DF
所以2AE=AB+AD
故AD+AB=2AE