曲线积分与曲面积分证明题

题目

曲线积分与曲面积分证明题
闭曲线L：x=x(t),y=y(t),t属于α到β ,L+方向为t增大,证明由L围成区域面积可以表示成S=1/2*∫（α→β）（x(t)*y'(t)-y(t)x'(t)）dt

答案

根据格林公式,沿闭曲线L的曲线积分∫-ydx+xdy=2∫∫dxdy=2S,故面积S=(1/2)∫-ydx+xdy,将L的参数方程代人,就有S=(1/2)∫-y(t)x'(t)dt+x(t)y'(t)dt=(1/2)∫[x(t)y'(t)-y(t)x'(t)]dt.