将边长为2a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积

题目

将边长为2a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？

答案

设小正方形的边长为x，则盒底的边长为2a-2x，由于2a-2x＞0，则x∈（0，a），且方盒是以边长为2a-2x的正方形作底面，高为x的正方体，其体积为V=x（2a-2x）2，（x∈（0，a））V'=（2a-2x）（2a-6x），令V'=0，则x1=a，...

设小正方形的边长为x，则盒底的边长为2a-2x，由于2a-2x＞0，则x∈（0，a），且方盒是以边长为2a-2x的正方形作底面，高为x的正方体，其体积为V=x（2a-2x）²，（x∈（0，a）），由此利用导数性质能求出结果．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题考查方盒了大容积的求法，是中档题，解题时要注意空间能力和导数性质的合理运用．