1已知函数Y=1-2A-2AX+2X的平方（-1《X《1)最小值为F（A）

题目

1已知函数Y=1-2A-2AX+2X的平方（-1《X《1)最小值为F（A）
（1）求F（A）的表达式
（2）若A属于-2,0的闭区间,求F（A）的值遇
2定义在R上的函数F（X）满足：如果对任意X1,X2属于R,都有
F（（X1+X2）/2）《1/2（F（X1）+F（X2）,则函数F（X）是R上的凹函数,已知函数F（X）=AX平方+X（A属于R切A不等于0）,求证：当A>0时,函数F（X）是定义域上的凹函数.
3定义在（-1,1）上的函数F（X）满足：对任意X,Y属于（-1,1）都有F（X）+F（Y）=F（（X+Y）/（1+XY））.
（1）求证：函数F（X）是奇函数
（2）如果当X属于（-1,0）时,有F（X）〉0,求证F（X）在（-1,1）上都是单调递减函数

答案

1.（1）F(A)=1-2A-A^2/2
（2）-5《F(A)《1
2.证明：X1+X2=-1/2A x1x2=0
因为F（（X1+X2）/2）《1/2（F（X1）+F（X2）
所以F(-1/4A)《1/2（F（X1）+F（X2）
化简得-3/16A《1/2(AX1^2+AX2^2+X1+X2)
-3/16A《1/2(X1+X2)^2+1/2(X1+X2)=A/2*1/4A^2-0-1/4A=-1/8A
3/16A>=1/8A 3/16A-1/8A=1/16A>=0
因为A不等于0 即 当A>0时,函数F（X）是定义域上的凹函数
3.（1）令x=y=0则f(0)+f(0)=f(0)所以f（0）=0
令x>0 ,则y=-x