(1)若x,y为正数,求（x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2的最小值

题目

(1)若x,y为正数,求（x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2的最小值

答案

（x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2
=x^2+x/y+1/(4y^2)+y^2+y/x+1/(4x^2)
=x^2+1/(4x^2)+x/y+y/x++1/(4y^2)+y^2
>=2*x*(1/(2x))+2*根号((x/y)*(y/x))+2*y*(1/(2y))
=1+2+1=4
其中,等号成立的条件是x=1/(2x)、x/y=y/x、y=1/(2y)同时成立,即x=y=根号(2)/2.
所以,x=y=根号(2)/2时,（x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2取得最小值4.