设向量组a1,a2,……an线性无关,且b1=a1+an,b2=a1+a2,b3=+a3,…,b

题目

设向量组a1,a2,……an线性无关,且b1=a1+an,b2=a1+a2,b3=+a3,…,b
=an-1+an,则向量组B1,B2,…,Bn线性无关的充要条件是n为奇数

答案

证明 必要性
设a为任一n维向量
因为a1 a2 …… an线性无关
而a1 a2  …… an a是n+1个n维向量
是线性相关的
所以a能由a1 a2  …… an线性表示
且表示式是唯一的
充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2  …… an线性表示,
故单位坐标向量组e1 e2  …… en能由a1 a2  …… an线性表示,
于是有n=R(e1 e2  …… en)≤R(a1 a2 ……  an)≤n
即R(a1 a2  …… an)=n
所以a1 a2  …… an线性无关