一道对数函数的题目

题目

一道对数函数的题目
设f(x)=lg(2/（1-x）+a)是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是

答案

定义域为2/(1-x)+a＞0,且x≠1,待定,后面计算.
f(x)=lg[(2+a-ax)/(1-x)]
∵f(x)是奇函数
∴f(-x)+f(x)=0
即lg[(2+a+ax)/(1+x)]+lg[(2+a-ax)/(1-x)]=0
即lg[(2+a+ax)/(1+x)×(2+a-ax)/(1-x)]=0=lg1
即(2+a+ax)(2+a-ax)/(1-x²)=1
即(a+2)²-a²x²=(1+x)²=1-x²
∴对应相等,即(a+2)²=1,-a²=-1
解得a=-1
∴f(x)=lg[(1+x)/(1-x)]
定义域为(-1,1)
下面解不等式f(x)＜0
即lg[(1+x)/(1-x)]＜0=lg1
∴(1+x)/(1-x)＜1
即(1+x)/(1-x)-1＜0
即(1+x-1+x)/(1-x)＜0
即2x/(1-x)＜0
即x(x-1)＞0
即x＜0或者x＞1
又∵定义域为(-1,1)
∴x的取值范围为(-1,0)