已知数列an,的前n项和为Sn,a1=1,且S(n+1)=4an+2

题目

已知数列an,的前n项和为Sn,a1=1,且S(n+1)=4an+2

答案

如果不用特征根法,还有一个比较经典的方法你可以借鉴.
名字不妨叫做凑等比数列法.
S(n+1)=4an+2,所以Sn=4a(n-1)+2
相减得：a(n+1)=4an-4a(n-1)
下面,求出适合的数字b,c使得： (待定系数法)
a(n+1)+b*an=c[an+b*a(n-1)]
这个式子跟上个式子是等价的,所以有
c-b=4,bc=-4. 求出b=-2,c=2.
即 a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)],令通项bn=a(n+1)-2an,得到bn=2b(n-1)为一等比数列.
求b1. b1=a2-2a1,由初始的S(n+1)=4an+2知道S2=a1+a2=4+2=6
于是求出a2=5,再代入求出b1=5-2=3
这就求出了bn的通项公式 bn=3*2^(n-1)=3*2^(n-1)
bn=a(n+1)-2an, 2b(n-1)=2an-4a(n-1),2^(n-1)*b1=2^(n-1)*a2-2^n*a1
一共是n项,需要对其求和
左边是 2^(n-1)b1+.+2b(n-1)+bn ; 式(1)
右边是 a(n+1)-2^n*a1=a(n+1)-2^n . 式(2)
左边等于右边,对左边n项求和：设Bn等于左边的和式,即式（1）
Bn=3*2^(n-1)+3*2^(n-1)+.+3*2^(n-1)一共n个,
所以Bn=3n*2^(n-1)=a(n+1)-2^n
所以a(n+1)=(3n+2)2^(n-1)
通项an=(3n-1)2^(n-2)
以上是完整解答.