已知方程Y"+9Y=0的一条积分曲线通过点（π,-1）,且在该点和直线Y+1=X-π相切,求这条曲线.

题目

已知方程Y"+9Y=0的一条积分曲线通过点（π,-1）,且在该点和直线Y+1=X-π相切,求这条曲线.

答案

特征方程为λ²+9=0
从而λ=±3i
原方程的一组基解为cos3x和sin3x
从而原方程的通解为y=C1cos3x+C2sin3x
因为所求曲线过点(π,-1)
所以 -C1=-1
C1=1
所求曲线在点(π,-1)的切线的斜率为
y'|(x=π)=3C2cos3π-3C1sin3π (书写体形式时x=π为下标)
=-3C2=1
C2=-1/3
所以 所求曲线方程为 y=cos3x-sin3x/3