如图所示,△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC:AB=3:5,点P从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q分别从B、C同时出发

如图所示,△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC:AB=3:5,点P从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q分别从B、C同时出发

题目
如图所示,△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC:AB=3:5,点P从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q分别从B、C同时出发:

(1)经过多少秒后,△CPQ的面积为8cm?
(2)经过多少秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似.
答案
(1)设AC=3x,AB=5x,
由勾股定理得:AB2=AC2+BC2
∴(3x)2+82=(5x)2
解得:x=2,
∴AC=6,AB=10,
设经过t秒后,△CPQ的面积为8cm2
PC=8-2t,CQ=t,
1
2
PC×CQ=8,
1
2
×(8-2t)×t=8,
解得:此方程无解,
答:不论经过多少秒后,△CPQ的面积都不能为8cm2
(2)设经过x秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似,
∵∠C=∠C=90°,
∴要使以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似,
具备
CQ
CA
=
CP
CB
CQ
CB
=
CP
CA
就行,
代入得:
x
6
=
8−2x
8
x
8
=
8−2x
6

解得:x=2.4或x=
32
11

答:经过2.4秒或
32
11
秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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