定义在R上的函数f(x)的反函数f^-1(x),且对于任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=3,则f^-1(x-1)+ f^-1(4-x)=
题目
定义在R上的函数f(x)的反函数f^-1(x),且对于任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=3,则f^-1(x-1)+ f^-1(4-x)=
答案
假设对于某个实数a
f^-1(a-1)=b
f^-1(4-a)=c
则
f(b)=a-1
f(c)=4-a
所以
f(b)+f(c)=a-1+4-a=3
又因为 f(b)+f(-b)=3
于是 f(c)=f(-b)=4-a
-b=f-1(4-a)=c
f^-1(a-1)+ f^-1(4-a)=b+c=b-b=0
由于a是任取的实数,所以对于所有实数x有
f^-1(x-1)+ f^-1(4-x)=0
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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