球这一行列式解

题目

球这一行列式解
1+a1 1 1 1 1 ...1
1 1+a2 1 1 1 ...1
1 1 1+a3 1 1 ...1
1 1 1 1+a4 1 ...1
................
1 1 1 1 1 1+an

答案

设a1*a2*...*an不等于0
记所求行列式为 D(n)
【各行都减去首行】
D(n) =
1+a1 1 1 1 1 ...1
-a1 a2 0 0 0 ...0
-a1 0 a3 0 0 ...0
-a1 0 0 a4 0 ...0
................
-a1 0 0 0 0 ...an
【第1行减去第K行*（1/aK）,K = 2,3,...,n】
=
a1(1 + 1/a1 + 1/a2 + ...+ 1/an) 0 0 0 0 ...0
-a1 a2 0 0 0 ...0
-a1 0 a3 0 0 ...0
-a1 0 0 a4 0 ...0
................
-a1 0 0 0 0 ...an
【大功告成,对角线乘积】
= a1*a2*...*an*[1 + 1/a1 + 1/a2 + ...+ 1/an]