直角三角形的三边之和为1,则这个三角形的最大面积为多少

题目

直角三角形的三边之和为1,则这个三角形的最大面积为多少

答案

设两直角边分别为a,b
则斜边=√(a²+b²)
所以a+b+√(a²+b²)=1
则1=a+b+√(a²+b²)≥2√(ab)+√(2ab)=(2+√2)√(ab)
所以ab≤1/(2+√2)²=1/(6+4√2)=(3-2√2)/2
则三角形面积=(1/2)ab≤(3-2√2)/4
故最大面积为(3-2√2)/4