抛物线的一道题

题目

抛物线的一道题
已知L为抛物线y^2=2px（p>0）的准线,AB为过焦点F的弦,M为AB的中点,过M作直线L的垂线,垂足是N,MN交抛物线于点P,求证：点P必平分线段MN.

答案

设AB:x=ky+p/2
与抛物线联立得y^2-2pky-p^2=0
MPN三点纵坐标yM=yP=yN=(y1+y2)/2=pk
∴M(pk^2+p/2,pk) P(pk^2/2,pk) N(-p/2,pk)
得MN中点为(pk^2/2,pk)即为P
∴P平分线段MN