已知在△ABC中，三条边a、b、c所对的角分别为A、B、C，向量m=（sinA，cosA），n=（cosB，sinB），且满足m•n＝sin2C． （1）求角C的大小； （2）若sinA、sinC、s

题目

已知在△ABC中，三条边a、b、c所对的角分别为A、B、C，向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosB，sinB），且满足

m

•

n

＝sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且

CA

•(

AB

−

AC

)=18，求c的值．

答案

（1）由

m

•

n

＝sin2C得sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sin2C，即sinC=sin2C，所以cosC＝

1

2

，C＝

π

3

．
（2）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，a+b=2c，
cosC＝

a2+b2−c2

2ab

＝

(a+b)2−2ab−c2

2ab

=

3c2−2ab

2ab

＝

1

2

∴ab=c²，
由

CA

•(

AB

−

AC

)＝18得

CA

•

CB

＝18，
即abcosC=18，所以ab=36，因此有c²=36，c=6．

（1）直接将

m

•

n

＝sin2C坐标化，化简整理即可求出C；
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列及正弦定理得a+b=2c，再由余弦定理得ab=c^2，
由

CA

•(

AB

−

AC

)＝

CA

•

CB

＝18可得ab的关系，解方程组可求的c．

本题考点：平面向量数量积的运算．

考点点评：本题考查向量的运算、正余弦定理解三角形知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．