设a>1,若对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=3,求a的取值范围.
题目
设a>1,若对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=3,求a的取值范围.
答案
∵log
ax+log
ay=3,
∴log
axy=3,
即xy=a
3,得y=
,
则函数y=f(x)=
,在[a,2a]上单调递减,
∴y∈[
a2,a
2],
故
a2≥a,
解得a≥2,
故a的取值范围是[2,+∞).
先由方程logax+logay=3解出y,转化为函数的值域问题求解.
全称命题.
本题考查对数式的运算、反比例函数的值域、集合的关系等问题,根据对数的运算法则进行化简是解决本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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