设m+n+p=3a,求证(a-m)^3+(a-n)^3+(a-p)^3=3(a-m)(a-n)(a-p)

题目

设m+n+p=3a,求证(a-m)^3+(a-n)^3+(a-p)^3=3(a-m)(a-n)(a-p)

答案

利用公式
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2
用(a-m),(a-n),(a-p)分别去换上式中的a,b,c,得
(a-m)^3+(a-n)^3+(a-p)^3-3(a-m)(a-n)(a-p)
=[(a-m)+(a-n)+(a-p)][(m-n)^2+(n-p)^2+(p-m)^2]/2
=[3a-m-n-p][(m-n)^2+(n-p)^2+(p-m)^2]/2
=0