已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.
题目
已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由.
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x
2+2x-5=-(x-1)
2-4.
要使m>-(x-1)
2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时只需m>-4.
(2)∵m-f(x
0)>0,∴m>f(x
0).
∵f(x
0)=
-2x
0+5=(x
0-1)
2+4≥4.
∴m>4.
(1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),求出右边的最大值,即可求得m的范围;
(2)m-f(x0)>0可化为m>f(x0),求出右边的最小值,即可求实数m的取值范围.
函数恒成立问题.
本题考查恒成立问题,考查函数的最值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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