在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0． （Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）若b=7，a+c=5，求△ABC的面积．

题目

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2B+cosB=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=

7

，a+c=5，求△ABC的面积．

答案

（Ⅰ）在△ABC中，由已知cos2B+cosB=0得  2cos²B+cosB-1=0，…（2分）
解得 cosB=

1

2

，或cosB=-1（舍去）． …（4分）
所以，B=

π

3

．    …（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得 b²=a²+c²-2ac•cosB．    …（8分）
将B=

π

3

，b=

7

代入上式，整理得 （a+c）²-3ac=7．
因为 a+c=5，所以，ac=6．         …（11分）
所以△ABC的面积 S=

1

2

ac•sinB=

3 3

2

．       …（13分）

（Ⅰ）在△ABC中，由已知cos2B+cosB=0得 2cos²B+cosB-1=0，解得 cosB的值，可得B的值．
（Ⅱ）解：将B=

π

3

，b=

7

代入余弦定理，整理得 （a+c）²-3ac=7．由a+c=5求得ac=6，从而求得△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB 的值．

本题考点：余弦定理；二倍角的余弦．

考点点评：本题主要考查二倍角公式、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．