k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116.(1)若a,b互质,证明a2-b2与a2、b2都互质;(2)当a,b互质时,求k的值.(3)
题型:解答题难度:一般来源:不详
k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116. (1)若a,b互质,证明a2-b2与a2、b2都互质; (2)当a,b互质时,求k的值. (3)若a,b的最大公约数为5,求k的值. |
答案
(1)设s为a2-b2与a2的最大公约数, 则a2-b2=su,a2=sv,u,v是正整数, ∴a2-(a2-b2)=b2=s(v-u),可见s是b2的约数, ∵a,b互质, ∴a2,b2互质,可见s=1. 即a2-b2与a2互质,同理可证a2-b2与b2互质;
(2)由题知:ma2=(m+116)b2, m(a2-b2)=116b2, ∴(a2-b2)|116b2, ∵(a2-b2,b2)=(a2,b2)=1, ∵(a2-b2)|116, 所以a2-b2是116的约数,116=2×2×29, a2-b2=(a-b)(a+b), 而a-b和a+b同奇偶性,且a,b互质, ∴a2-b2要么是4的倍数,要么是一个大于3的奇数, ∴(a-b)(a+b)=29 或(a-b)(a+b)=116, ∴a-b=1,a+b=29或a-b=1,a+b=116或a-b=2,a+b=58或a-b=4,a+b=29, 解得只有一组解符合条件, a=15,b=14, ∴m(152-142)=116×142, ∴m=4×142=784, ∴k=784×152=176400;
(3)设a=5x,b=5y,即x,y的最大公约数为1, 则m(a2-b2)=116b2, ∴即m(25x2-25y2)=116(25y)2, ∴m(x2-y2)=116(y)2, ∵x,y互质,则有:m=24×72, ∴x=15,y=14, a=75,b=70,m=784, k=784×752=4410000. |
举一反三
若在方程x(x+y)=z+120中,x,y,z都是质数,而z是奇数,则x=______. |
若大于1的整数n可以表示成若干个质数的乘积,则这些质数称为n的质因数.则下面四个命题中正确的是( )A.n的相反数等于n的所有质因数的相反数之积 | B.n的倒数等于n的所有质因数的倒数之积 | C.n的倒数的相反数等于n的所有质因数的倒数的相反数之积 | D.n的相反数的倒数等于n的所有质因数的相反数的倒数之积 |
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设p,q均为质数,且p+q=99,则p、q的积pq=______. |
已知p,q都是质数,且使得关于x的二次方程x2-(8p-10q)x+5pq=0至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q). |
有三个连续的奇数,它们的平方和是四个相同数字组成的四位数,那么这三个连续奇数中最大的一个是______. |
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