给出如下n个平方数:12,22,…,n2,规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号,所得的代数和记为L.(1)当n=8时,试设计一种可行方案使得|L|
题型:解答题难度:一般来源:不详
给出如下n个平方数:12,22,…,n2,规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号,所得的代数和记为L. (1)当n=8时,试设计一种可行方案使得|L|最小; (2)当n=2005时,试设计一种可行方案使得|L|最小. |
答案
(1)当L=12-22-32+42-52+62+72-82=0 或L=-12+22+32-42+52-62-72+82=0时,|L|最小且最小值为0; (2)当n=2005时, ①∵给定的2005个数中有1003个奇数, ∴不管如何添置“+”和“-”号,其代数和总为奇数, ∴所求的最终代数和大于等于1. 于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案. ②∵k2-(k+1)2-(k+2)2+(k+3)3=4,-k2+(k+1)2+(k+2)2-(k+3)3=-4, ∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0; ③若对62,72,…,20052,根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号,使每组的代数和为0,然后对12,22,…,52进而设计,但无论如何设计,均无法使它们的代数和为1. ④在对12,22,…,52的设计过程中,有一种方案:-12+22-32+42-52=-15, 又由①知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4, ∴16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为16. 综上,可行方案为: 首先对222,232,…,20052,根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号,使每组的代数和为0;其次对62,72,…,212,根据③适当添加“+”和“-”号,使每组的代数和为16;最后对12,22,…,52作-12+22-32+42-52=-15设置,便可以使得给定的2005个数的代数和为1,即|L|最小. |
举一反三
在数0,2,-3,-1.2中,属于负整数的是( ) |
设a、b都是整数,下列说法:(1)若a+5b是偶数,则a-7b也是偶数;(2)若a+b能被3整除,则a、b都能被3整除;(3)若a+b是质数,则a-b一定不是质数.上述说法中正确的个数是( ) |
设x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a,其中a,b,c是待定的质数,如果x2=y,-=2,试求积abc的所有可能的值. |
已知三个整数a,b,c的和为奇数,那么a2+b2-c2+2ab是( ) |
已知p、q均为质数,并且存在整数m、n,使得m+n=p,m•n=q.则的值为______. |
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