阅读下面材料，并解答下列问题：在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：①已知a和b，求N，这是乘方运算；②已知b和N，求a，这是开方运算．现在我们研究第

题型：解答题难度：一般来源：不详

阅读下面材料，并解答下列问题：
在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算；
②已知b和N，求a，这是开方运算．
现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫作对数运算．
定义：如果a^b=N（a＞0．a≠1，N＞0），则b叫作以a为底的N的对数，记作b=log_aN．
例如：因为2³=8，所以log₂8=3；因为2-3=

1

8

，所以log2

1

8

=-3．
（1）根据定义计算：
①log₃81=______；   ②log₃3=______；
③log₃1=______；    ④如果log_x16=4，那么x=______．
（2）设a^x=M，a^y=N，则log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．用log_aM，log_aN的代数式分别表示log_aMN及loga

M

N

，并说明理由．

答案

（1）①∵3⁴=81，
∴log₃81=4；
②∵3¹=3，
∴log₃3=1；
③∵3⁰=1，
∴log₃1=0；
④由题意得：x⁴=16，
x=±2；

（2）∵a^x=M，a^y=N，
∴log_aM=x，log_aN=y，
∵a^x•a^y=a^x+y=MN，
∴log_aMN=x+y=log_aM+log_aN，
∵a^x÷a^y=a^x-y=

M

N

，
∴loga

M

N

=x-y=log_aM-log_aN．