证明不定方程x2+y2-8z=6无整数解.
题型:解答题难度:一般来源:不详
证明不定方程x2+y2-8z=6无整数解. |
答案
假设存在整数解,即存在正数a,b,c满足方程x2+y2-8z=6. 则:a2+b2=8c+6=2(4c+3), 于是,a2,b2奇偶性相同即a,b奇偶性相同, (1)a,b都是偶数,于是存在整数,m,n使得:a=2m,b=2n. 则:a2+b2=4m2+4n2=2(4c+3), 则:2(m2+n2)=4c+3,即:一个奇数等于另一个偶数,矛盾; (2)a,b都是奇数,于是存在整数,m,n使得:a=2m-1,b=2n-1. 则:a2+b2=4m2-4m+1+4n2-4n+1=4[m(m-1)+n(n-1)]+2=8c+6 则:m(m-1)+n(n-1)=2c+1. 由m,m-1使相邻整数,n,n-1是相邻整数,则:m,m-1必有一个是偶数,n,n-1必有一个是偶数.于是:m(m-1)+n(n-1)是偶数,而2c+1是奇数,此等式不成立,矛盾. 综上所述:假设不成立,即方程x2+y2-8z=6没有整数解. |
举一反三
已知一个七位自然数62xy427能被99整除,试求950x+24y+3. |
已知n为大于100的自然数,若n3+100能被n+10整除,则满足条件的n的个数为______. |
若两个正整数a、b的最大公约数比最小公倍数小23,且a≤b,则这样的数对(a,b)共有 ______个. |
已知1999个自然数a1,a2,…,a1999满足条件:其中任意两数的和能被它们的差整除.现设n=a1a2…a1999,证明:n,n+a1,n+a2,…,n+a1999这2000个数仍满足上述条件. |
设一个自然数n的所有正约数的积为24•312,则n的值为______. |
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