如果有一个三位数的奇数,它除以11所得的商,是这个三位数的各位上的数的平方和,试求符合条件的所有三位数.
题型:解答题难度:一般来源:不详
如果有一个三位数的奇数,它除以11所得的商,是这个三位数的各位上的数的平方和,试求符合条件的所有三位数. |
答案
设三位数为100a+10b+c,a,b,c都是整数,0<a≤9,0≤b,c≤9,c为奇数, 那么 =9a+b+, ∵a最小是1,b最大是9,c最小是0,即可得出,-8<a-b+c, a最大是9,b最小是0,c最大是9,即可得出,a-b+c<18. ∴-8<a-b+c<18, 要使a-b+c被11整除,其值只能是0和11, ( 1)当a-b+c=0时,得9a+b=a2+b2+c2. 以b=a+c代入,并整理为关于a的二次方程,得 2a2+2(c-5)a+2c2-c=0 把c=1,3,5,7,9 逐一讨论a的解 当c=1时,无整数解,当 c=3,5,7,9时,无实数根; ∴此时没有满足条件的三位奇数;
(2)当a-b+c=11时,得9a+b+1=a2+b2+c2. 以b=a+c-11代入,并整理为关于a的二次方程,得 2a2+2(c-16)a+2c2-23c+131=0. 把c=1,3,5,7,9 逐一讨论a的解 当c=1时,无整数解,当 c=5,7,9时,无实数根; 只有当c=3时,a=8,b=0适合所有条件. 即所求三位数为803. 综上所述,符合条件的三位数为803. |
举一反三
设正整数a,b,c满足ab+bc=518,ab-ac=360,则abc的最大值是______. |
用数码1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数中,能被11整除的共有______个. |
找出这样最小的自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13,这个自知数是______. |
求证:如果五位数能被41整除,那么五位数也能被41整除. |
求所有的正整数对(a,b),使得ab2+b+7整除a2b+a+b. |
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