求所有的正整数对(a,b),使得ab2+b+7整除a2b+a+b.
题型:解答题难度:一般来源:不详
求所有的正整数对(a,b),使得ab2+b+7整除a2b+a+b. |
答案
由条件ab2+b+7整除a2b+a+b, 显然ab2+b+7|a2b2+ab+b2, 而a2b2+ab+b2=a(ab2+b+7)+b2-7a,故ab2+b+7|b2-7a, 下面分三种情况讨论; 情形一:b2-7a>0;这时b2-7a<b2<ab2+b+7,矛盾; 情形二:b2=7a,此时a,b应具有a=7k2,b=7k,k是正整数的形式,显然(a,b)=(7k2,7k)满足条件; 情形二:b2-7a<0,这时由7a-b2≥ab2+b+7,则b2<7, 进而b=1或2,当b=1时,则条件=a-7+为正整数, 57能被a+8整除,可知a+8=19或57,进而知a=11或49, 解得(a,b)=(11,1)或(49,1); 当b=2时,由(<2)为正整数,可知=1,此时a=,矛盾; 综上,所有解为(a,b)=(11,1),(49,1)或(7k2,7k)(k是正整数). |
举一反三
一个两位数被7除余1,如果交换它的十位数字与个位数字的位置,所得的两位数被7除也余1,则这样的两位数有( ) |
设a1,a2,…an,是n个任意给定的.求证:一定可以找到紧连在一起的若干个数,使得它们的和能被n整除. |
已知724-1可被40至50之间的两个整数整除,这两个整数是( )A.41,48 | B.45,47 | C.43,48 | D.4l,47 |
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求证:一个十进制数被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数. |
(1)求33除21998的余数. (2)求8除72n+1-1的余数. |
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