求证：一个十进制数被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

求证：一个十进制数被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数．

答案

证明：设这个十进制数A=

.

anan-1…a2a1a0

，
∵10≡1（mod9），
故对任何整数k≥1，有
10^k≡1^k=1（mod9）．
因此
A=

.

anan-1…a2a1a0

，
=a_n×10ⁿ+a_n-1×10^n-1+…+a₁×10+a₀，
≡a_n+a_n-1+…+a₁+a₀（mod9），
即A被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数．
∴一个十进制数被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数．